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Enseñame paso a paso a resolver esa integral

Para resolver la integral indicada en la imagen, sigamos los pasos detalladamente. La integral que necesitamos resolver es:

\[
\int \frac{(x^3 + a^3) \sqrt{x}}{(x + a)x} \, dx
\]

### Paso 1: Simplificación de la expresión
Primero, simplificamos la fracción dentro de la integral.

\[
\frac{(x^3 + a^3)\sqrt{x}}{(x + a)x}
\]

Observemos que \(x^3 + a^3\) puede factorizarse utilizando la fórmula de suma de cubos:

\[
x^3 + a^3 = (x + a)(x^2 - ax + a^2)
\]

Entonces, la expresión se simplifica a:

\[
\frac{(x + a)(x^2 - ax + a^2)\sqrt{x}}{(x + a)x}
\]

Cancelamos el término \(x + a\) (suponiendo que \(x + a \neq 0\)):

\[
\frac{(x^2 - ax + a^2)\sqrt{x}}{x}
\]

Ahora, distribuimos el \(x\) en el denominador:

\[
\frac{x^2\sqrt{x}}{x} - \frac{ax\sqrt{x}}{x} + \frac{a^2\sqrt{x}}{x} 
\]

\[
= x\sqrt{x} - a\sqrt{x} + \frac{a^2\sqrt{x}}{x}
\]

Dado que \(\sqrt{x} = x^{1/2}\), podemos reescribir los términos:

\[
x\sqrt{x} = x^{3/2}, \quad a\sqrt{x} = ax^{1/2}, \quad \frac{a^2\sqrt{x}}{x} = a^2 x^{-1/2}
\]

Por lo tanto, la integral se convierte en:

\[
\int (x^{3/2} - ax^{1/2} + a^2 x^{-1/2}) \, dx
\]

### Paso 2: Resolver la integral término por término
Ahora integramos cada término por separado.

1. **Integral de \(x^{3/2}\)**:

\[
\int x^{3/2} \, dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5} x^{5/2}
\]

2. **Integral de \(-ax^{1/2}\)**:

\[
\int -ax^{1/2} \, dx = -a \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} = -\frac{2a}{3} x^{3/2}
\]

3. **Integral de \(a^2 x^{-1/2}\)**:

\[
\int a^2 x^{-1/2} \, dx = a^2 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2a^2 x^{1/2}
\]

### Paso 3: Combinar los resultados
Sumamos los resultados de las integrales:

\[
\int \frac{(x^3 + a^3) \sqrt{x}}{(x + a)x} \, dx = \frac{2}{5}x^{5/2} - \frac{2a}{3}x^{3/2} + 2a^2 x^{1/2} + C
\]

### Paso 4: Comparación con la solución dada
Comparando con la solución proporcionada:

\[
\frac{2}{5} x^{5/2} - \frac{2a}{3}x^{3/2} + 2a^2 x^{1/2} + C
\]

Vemos que coincide con la solución dada en la imagen.

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso en particular o tienes alguna pregunta adicional?

---

**Preguntas Relacionadas:**

1. ¿Cómo se aplica la fórmula de suma de cubos en otras integrales?
2. ¿Qué otras formas de factorización pueden simplificar una integral?
3. ¿Cómo se realizan integraciones cuando hay radicales en el integrando?
4. ¿Cómo afecta la presencia de una constante en la factorización a la integración?
5. ¿Cómo verificar si la simplificación de una fracción es correcta antes de integrar?

**Tip:** Factorizar correctamente una expresión antes de integrar puede simplificar drásticamente el proceso y reducir la complejidad de la integral.

Learn how to solve the integral of (x^3 + a^3) * sqrt(x) / ((x + a)x) step-by-step. This problem involves integration techniques, summation of cubes, and fraction simplification. Suitable for university-level mathematics.

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